lim (a(n)-b(n)) = 0

Köszönöm a helyreigazítást! 🙂

Ja és sajna bloghun nem tudunk belenyúlni a kommentekbe, úgyhogy vizuális tuningot ne várjatok. Lehet egyáltalán valahogy képeket beszúrni kommentbe itt?

hát…..

Vizsgáljuk a b(n) := (2+sqrt(3))^n sorozatot. Ez egy mértani sorozat, a hányadosa 2+sqrt(3). Írjuk fel az első néhány tagot: 3.73, 13.93, 51.98, 193.99, 723.9986, 2701.9996. Érződik, hogy b(n) sorozat törtrésze tényleg 1-hez konvergál. De ez még csak egy sejtés.

Jó volna egy olyan a(n) sorozatot készíteni, amelyre igaz, hogy a(n) = ceiling(b(n)), ahol ceiling a felső egészrész függvény. Tehát a(n) első néhány tagjának a következőknek kell lenniük: 4, 14, 52, 194, 724, 2702. Ha b(n) sorozat egyetlen eleme sem egész szám (ezt egyelőre csak igen valószínűnek érezzük, de majd látni is fogjuk, hogy így van), akkor minden n-re igaz, hogy b(n)<a(n), tehát az eredeti feladatot úgy fogalmazhatjuk át, hogy bizonyítsuk be, hogy lim b(n) = lim a(n).

Szóval, már csak az a(n) sorozatot kell előállítanunk. Ha sokáig nézzük, rájöhetünk, hogy ez egy olyan “Fibonacci-szerű” sorozat lehet (fogalmam sincs, hogy van-e ezeknek rendes nevük). Ez lehet isteni sugallat, vagy fakadhat onnan is, hogy rájövünk arra, hogy az a(n+1)/a(n) sorozat konvergens. Kepler bácsi már belátta, hogy a Fibonacci sorozatokra egy ilyen sorozat az aranymetszés Φ értékéhez konvergál, tehát azt sejtjük, hogy ha a miénk nem Φ-hez konvergál, de konvergál, akkor a(n) Fibonacci-szerű sorozatunk van. Ha a(n) meglévő elemeivel próbálkozunk, abból is megsejthetjük, hogy lim a(n+1)/a(n) értéknek 2+sqrt(3) kéne lennie. De igazából ehhez sem kell isteni sugallat, hiszen b(n) mértani sorozatot akarjuk közelíteni, amelynek hányadosa 2+sqrt(3), tehát a(n) sorozat “hányados-határértéke” is 2+sqrt(3) kellene, hogy legyen.

Most definiáljuk rendesen, hogy mit is értünk Fibonacci-szerű sorozaton. Hát ezt: a(n+1) = α*a(n)+β*a(n-1). Az α és β együtthatókat megkaphatjuk, ha az a(3), a(2), a(1) konkrét értékekre (azaz 52, 14, 4), és az a(4), a(3), a(2) konkrét értékekre (azaz 194, 52, 14) felírt kétismeretlenes (α és β) egyenletrendszert megoldjuk. Az eredmény: α=4 és β=-1. De persze meg is sejthetjük ezeket az együtthatókat. 🙂 Tehát a(n+1)=4*a(n)-a(n-1). Ez sajnos rekurzív képlet, nekünk pedig zárt alakban kéne egy képlet. Szerencsére az előbb említett “hányados-határérték” ehhez is segítséget nyújt:

x := lim a(n+1)/a(n) = lim (4*a(n)-a(n-1))/a(n) = 4 – lim a(n-1)/a(n) = 4 – 1/(lim a(n)/a(n-1)) = 4 – 1/x

Tehát a következő egyenletet kell megoldanunk:
x = 4 – 1/x

Másként felírva látszik, hogy ez egy másodfokú egyenlet:
x^2 = 4x – 1

Ennek két megoldása van: 2-sqrt(3) és 2+sqrt(3). Ez utóbbinak nagyon örülünk, mert ez volt az a “hányados-határérték”, amit előre megsejtettünk.

A másodfokú egyenlet mindkét oldalát x^n -nel beszorozva kapjuk:
x^(n+2) = 4*x^(n+1) – x^n

Ebből már látszik, hogy a c(n):=(2-sqrt(3))^n és a d(n):=(2+sqrt(3))^n sorozatok (mellesleg vegyük észre, hogy d(n) valójában nem más mint b(n)), és minden lineáris kombinációjuk kielégítik a Fibonacci-szerű rekurziónkat. Tehát a(n) felírható a következő zárt képlettel:

a(n) = ξ*(2+sqrt(3))^n + μ*(2-sqrt(3))^n

Tudjuk, hogy a(1)=4 és a(2)=14, azaz:

a(1) = ξ*(2+sqrt(3)) + μ*(2-sqrt(3)) = 4
a(2) = ξ*(2+sqrt(3))^2 + μ*(2-sqrt(3))^2 = 14

Ezt a kétismeretlenes egyenletrendszert megoldva kapjuk, hogy ξ=1 és μ=1, azaz a(n) zárt képlete a következő:
a(n) = (2+sqrt(3))^n + (2-sqrt(3))^n

Tehát, eddig annyit történt, hogy csináltunk egy a(n) sorozatot, amelynek elemei egész számok (ezt a kezdeti elemekből és a rekurzív képletből tudjuk), és amelynek ismerjük a rekurzív és a zárt képletét is. Innen már nincs sok hátra. 🙂

b(n) := (2+sqrt(3))^n
a(n) = (2+sqrt(3))^n + (2-sqrt(3))^n

Nyilvánvaló, hogy (2-sqrt(3))^n > 0, ezért b(n) < a(n). Továbbá az is igaz, hogy (2-sqrt(3))^n < 1 (ugyanis n>=1). Mivel a(n) elemei egész számok, ezért az előbbiekből következik, hogy b(n) sorozat egyetlen eleme sem egész szám, valamint a(n) = ceiling(b(n)). Sőt, mivel lim (2-sqrt(3))^n = 0, ezért lim a(n) = lim b(n). Mindezekből pedig az következik, hogy:

lim {b(n)} = lim {(2+sqrt(3))^n} = 1

Hát, ha ez a feladat nem kurva szép, akkor nem tudom, mi az. 🙂

Ha Encsé megszánna engem, és kapnék tőle egy kis vizuális tuning-ot a képletekhez, azt nagyon megköszönném. 😉 (Kiegészítés: mindenhol, ahol lim-et írtam, “lim n tart a végtelenhez”-t akartam írni.)

Ajánlott szakirodalom:
http://hu.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-számok

Legyen s(n) a sorozat n-dik tagja. H jelölje négyzetgyök 3-at. Ekkor a sorozat első 6 tagja:
s(1) = 2 + H
s(2) = 7 + 4*H
s(3) = 26 + 15*H
s(4) = 97 + 56*H
s(5) = 362 + 209*H

Jelölje az összeg első tagját a, másodikat (H nélkül) b, azaz s(3) esetén a(3) = 26, b(3) = 15. Ekkor b(n) = 2*a(n-1) + b(n-2). De hogy ez mire jó azt még nem látom. 🙂

Továbbá az összeg teljes második tagja (b(n)*H) jó közelítéssel kiadja a(n)-t, azaz a(n) = [b(n)*H+1] (szögletes zárójellel az egészrészt jelöltem, már nem rémlik hogyan jelöltük – bár sokszor nem használtuk az is biztos).

Ezek még csak észrevételek, be kellene látni őket. Az elsőt nem lehet nehéz, csak végig kell számolni, a második biztos nem triviális.