P_k(siker | s-edik a legszebb) = (V_(n-1)^(s-1) * k/(s-1)) / V_(n-1)^(s-1) = k/(s-1)

n=300
k=? (felmérésben résztvevő lányok száma)

Az egyszerűség kedvéért feltettem, hogy nincsen két ugyanannyira szép lány.

Egy kis részfeladatként tegyük fel, hogy a legszebb lány az s-edik. Annak az esélye, hogy egy rögzített “s” esetén az s-edik lány legyen a legszebb:

P(s-edik a legszebb) = 1/n

Számoljuk ki egy ilyen esetre annak a valószínűségét, hogy az adott algoritmussal sikerül eljutnunk a legszebb lányig. Először vizsgáljuk meg, hányféleképpen jöhetnek a legszebb lány előtt a lányok. Ez n-1 elem (maradék lányok) “s-1”-ed osztályú ismétlés nélküli variációinak a számával egyenlő:

V_(n-1)^(s-1) = (n-1) * (n-2) * … * (n-s+1)

Ebből a kedvező esetek (amikor ki tudjuk választani a legszebb lányt) számát is ki tudjuk számolni. Ugyanis ezekből az esetekből számunkra azok a kedvezőek, amelyekben az első s-1 lány közül a legszebb lány (nevezzük parciálisan második legszebbnek) az első “k” között van. Ha ez teljesül, akkor biztosan eljutunk az s-edik lányig, aki a legszebb mind közül. Ha nem teljesül, akkor viszont biztosan nem jutunk el, hiszen az algoritmusunk szerint a parciálisan második legszebbnél fogunk megállni vagy valahol előtte.

Annak az esélye, hogy a parciálisan második legszebb az első “k” lány között legyen: k/(s-1), tehát a kedvező esetek száma:

V_(n-1)^(s-1) * k/(s-1)

Tehát annak a valószínűsége, hogy az algoritmusunkkal egy rögzített “s” esetén eljutunk a legszebb lányig, aki az s-edik lány:

P_k(siker | s-edik a legszebb) = (V_(n-1)^(s-1) * k/(s-1)) / V_(n-1)^(s-1) * k/(s-1) = k/(s-1)

Azt már tudjuk, hogy:

P(s-edik a legszebb) = 1/n

Tehát a feltételes valószínűség definíciója alapján:

P_k(s-edik a legszebb és siker) = P(s-edik a legszebb) * P_k(siker | s-edik a legszebb) = 1/n * k/(s-1)

A képletből is látszik, de jobban belegondolva is világos, hogy s-1 nem lehet kisebb, mint “k” (azaz szükséges, hogy s>k), hiszen ha kisebb lenne, akkor a valószínűség 1-nél nagyobb lenne, vagy másként fogalmazva, a legszebb lány az első “k” között lenne, így esélyünk sem lenne őt később kiválasztani. Ezért a siker valószínűsége:

P_k(siker) = sum[s=(k+1)..n](P_k(s-edik a legszebb és siker)) = sum[s=(k+1)..n](1/n * k/(s-1)) = k/n * sum[s=k..(n-1)](1/s) = k/n * (H_(n-1) – H_(k-1))

ahol H_n az n-edik harmonikus szám: H_n = sum[i=1..n](1/i)

A P_k(siker) sorozatból (k=1..(n-1)) kellene kiválasztani a maximális értéket, ami nem egyszerű, szóval inkább helyettesítsünk be:

P_k(siker) = k/300 * (H_(299) – H_(k-1))

Ezt már könnyedén kiszámolhatjuk pl. a WolframAlpha segítségével, aki ráadásul volt olyan kedves, és kérés nélkül kiszámolta a lokális maximumot, ami kb. 110.179-nél van:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=k%2F300*%28HarmonicNumber%28299%29+-+HarmonicNumber%28k-1%29%29

Kiszámolva k=110-et és k=111-et kijön, hogy a k=110 nagyobb valószínűséget ad, tehát az egészek között az lesz a maximum:

P_110(siker) ≈ 36.8935 %

Tehát 110 lányt kell előzetesen megnézni ahhoz, hogy az algoritmusunkkal a lehető legnagyobb valószínűséggel ki tudjuk választani a legszebb lányt.

Gyönyörű feladat. Minden szempontból. 🙂