encse – Fogaskerék

Dugó az üvegben

encse — Thu, 21 Oct 2010 19:00:00 +0000

Egy este Arszlán, Belián és Cipórián kedvenc csapszékükben beszélgettek. A borosüveg lassan kiürült, és Arszlán egy jópofa feladattal állt elő. Előbb az üveg dugóját kis kézimunkával és ütögetéssel teljesen az üveg belsejébe nyomta, úgy hogy a dugó leesett az üveg aljára, majd valahonnan előhúzott egy szemeteszsákot, és megkérdezte társait, hogy ki tudják-e szedni a dugót a zsák segítségével. Hosszan próbálkoztak, ... Read More

Arszlán és a háremhölgyek

encse — Thu, 18 Feb 2010 11:50:00 +0000

Jóval a királylányos kaland előtt Arszlán a török szultán segítségére volt valamely gaztett elkövetésében, amelynek részleteit mára már homály fedi. Fizetségül és hálája jeléül a szultán egy hölgyet ajánlott Arszlánnak saját háreméből.

A hölgyek egymás után jöttek be a palotába, Arszlán pedig egyesével eldönthette, hogy megelégszik-e az adott hölggyel, vagy inkább megnézi a következőt. Mivel utólag vissza már nem hívhatott hölgyeket, mindössze annyit tehetett, hogy előbb felmérte a háremet az első néhány lány megtekintésével, és ezután kiválasztotta az első olyat, aki szebb volt az addigiaknál.

Természetesen, ha túl sok lányt nézett volna meg az elején, akkor a végén talán egy csinosabb sem lett volna náluk, így nagyon is fontos ennek az előzetes felmérési szakasznak a hossza.

Ha tudjuk, hogy a háremben 300 lány volt, és teljesen véletlenszerű sorrendben vonultak fel, hány lányból álljon a felmérés ahhoz, hogy a legnagyobb legyen az esély a legszebb kiválasztására?

Arszlán halálos ajtói

encse — Mon, 15 Feb 2010 17:41:00 +0000

Történt egyszer, hogy Arszlán egy televíziós vetélkedőn eljutott a döntőig. A műsorvezető felkínált neki három ajtót, amelyikből bármelyiket választhatta, azonban jó előre felhívták a figyelmét arra, hogy a három ajtóból csak egy rejti a játék fődíját (a király világszép lányát), a másik kettő mögött oroszlánok és mindenféle válogatott kínzások várják. Jó, hát ez egy amolyan középkori vetélkedő volt, de ha én mondom, akkor elhihetitek, hogy tényleg szórul szóra ez történt…

Arszlán rábökött az egyik ajtóra, aztán a porondmester kinyitott egy másikat, amiről viszont előre megmondta, hogy nem a királylány lesz mögötte.

Ezután Arszlán még egyszer meggondolhatta, hogy kitart-e az eredeti ajtó mellett, vagy mégis inkább áttér a harmadikra.

Attól teljesen függetlenül, hogy mit választott végül, hiszen tudjuk, hogy azóta is él és virul, arra vagyunk kíváncsiak, hogy mi lett volna a helyes döntés… Hogyan okoskodhatott?

3 kupac gyufa

encse — Mon, 25 Jan 2010 06:00:00 +0000

Egyik este a kocsmában Beliánék a következő játékot játszották. Belián elővett egy doboz gyufát, majd három kupacba rendezte a szálakat úgy, hogy az egyikbe 3, a másikba 4 a harmadikba pedig 5 szál jutott.

A játékot két személy játssza, és felváltva választanak egy kupacot, majd abból tetszés szerint néhány szál gyufát elvesznek maguknak. Ezután a másik játékos jön, ő is választ, és elvesz annyit, amennyit akar. A lényeg, hogy egyszerre csak az egyik kupacból vehet el gyufát, és mindenképp legalább egyet el kell vennie.

A játékot az nyeri, aki az utolsó szál gyufát elveszi.

Beliánt néhány kör után ki kellett zárni, mert mindig ő nyert, így Arszlán és Cipórián közt folyt a verseny napkeltéig.

Kérdésünk az, hogy milyen trükköt ismerhetett Belián. Adjunk nyerő stratégiát a kezdő játékos számára. Mi a helyzet abban az esetben, ha az veszít, akinek az utolsó gyufát el kell vennie?

Megoldás

A kezdő játékosnak van nyerő stratégiája. Nincs más dolga, csak, hogy összexorolja a kupacban levő gyufák számát, és úgy vegyen el a kupacból, hogy lépései után a xor értéke mindig nulla legyen.

⊕-szal jelölve a xor műveletet, kezdetben 3 ⊕ 4 ⊕ 5 = 2. Így az első lépésnek választhatjuk az első kupacból két gyufa elvételét, hiszen így 1 ⊕ 4 ⊕ 5 = 0 marad.

Ha nulla a xor értéke, akkor a rákövetkező játékos ezt mindenképp elrontja, és fordítva: ha nem nulla az érték, akkor van olyan lépés, amivel nullára állítható.

A győztes lépés előtt már csak egy kupac van, és úgy állítjuk a (most már egytagú) xort nullára, hogy minden gyufát elveszünk az asztalról.

A módszer működik több kupac esetén is, és akárhogy megválaszthatjuk a kezdetben a kupacokban levő gyufák számát. Ha a kezdeti xor értéke nem nulla, akkor az első, egyébként a második játékosnak lesz nyerő stratégiája.

A fordított játékszabályok esetén pontosan ez a stratégia játszható egészen addig, amíg csak 1 olyan kupac nem marad, amiben legalább két gyufa van. Ekkor ebből a kupacból kell annyit elvenni, hogy az asztalon páratlan számú kupac maradjon, utána felváltva vesznek el a játékosok egy-egy gyufát, az utolsó az ellenfélnek marad, így ő veszít.

A részleteket a wikipedián olvashatjátok, de egyedül sem nehéz belátni, hogy a módszer miért működik, ez egy jó gondolkodtató feladat lehet.

Hajótörés

encse — Fri, 18 Dec 2009 07:00:00 +0000

A következő egy team building feladat adaptációja. Enikőnek köszönjük, hogy megosztotta velünk.

Arszlán, Belián és Cipórián egyszer hajótörést szenvedett a Csendes Óceán közepén. Az alábbi tárgyakat sikerült kimenteniük a süllyedő hajóból:

egy 4 személyes gumicsónakot,
egy borotválkozó tükröt,
moszkító hálót,
20 liter ivóvizet egy kannában,
néhány konzervet,
az óceán részletes térképét,
7,5 liter olaj-benzin keveréket,
egy kis tranzisztoros rádiót,
egy szextánst,
2 négyzetméter átlátszó műanyag fóliát,
cápariasztót,
1,1 liter erős rumot,
4,5 méter nylon kötelet,
2 doboz csokoládét,
1 horgász felszerelést,
1 doboz cigarettát,
3 doboz gyufát,
és összesen 60 dollárt amerikai bankjegyekben.

Legjobb tudomásuk szerint 1000km-re délnyugatra voltak egy szigettől.

Milyen menekülési stratégia mellett dönthettek? Melyik tárgyat mire használhatták fel? Mi a legfontosabb tárgy? Állítsunk fel egy fontossági sorrendet!

Lévén ez egy team building feladat, a megoldást most együtt találjuk ki a kommentekben!

Ezzel a bejegyzéssel a blog két hétre szabadságra megy. Jövőre érkezünk új feladatokkal, amiket egyébként továbbra is várunk a fogaskerek@csokavar.hu címre.

Kellemes ünnepeket mindenkinek!

Hajózás

encse — Tue, 15 Dec 2009 07:00:00 +0000

A következő feladatot gimnazista koromban hallottam.

Egy hajó kapitányának életkora K, legénységének létszáma L. Mindkettő pozitív egész. A kettő között az alábbi összefüggés áll fenn:

L(L–1) = K(L–2)+15

Hogy hívják a kapitányt?

Megoldás

Vonjunk ki 2-t az egyenlet mindkét oldalából, mégpediglen azért, mert a baloldalból is szeretnénk L-2-t kiemelni:

L*L – L – 2 = K(L-2) + 13

Ekkor

(L-2)(L+1) = K(L-2) + 13.

Rendezzük az ismeretleneket a baloldalra:

(L-2)(L+1) – K(L-2) = 13

Újabb kiemelés után:

(L-2)(L+1-K) = 13

Felhasználva, hogy K és L is egész számok a 13-at csak négyféleképpen lehet két szám szorzatára bontani:

L-2	L+1-K	L	K
1	13	3	-9
-1	-13	1	15
13	1	15	15
-13	-1	-11	-9

Mivel L és K is pozitív, csak az L=1, K=15 illetve L = 15, K=15 lehet megoldás.

A kapitány tehát mindenképpen 15 éves, a legénység pedig vagy 1 vagy 15 fős. Innen már csak egy kis kulturális háttérismeret kell ahhoz, hogy kiderüljön: a tizenöt éves kapitány minden bizonnyal a hasonló című Verne regényben szereplő Dick Sand lesz.

Elegáns?

Hídépítés

encse — Mon, 07 Dec 2009 07:00:00 +0000

A következő feladatot, a híres űrcsavargónak, Charles Simonyinak köszönjük.

Arszlán, Belián és Cipórián kedvenc csapszékükben mulattak. Belián kezdett kifogyni a pénzből, ezért egy fogadást ajánlott barátainak.

– Itt ez a három pohár és ez a három kés. Fogadjunk, hogy nem tudtok a három késből olyan támasztékot, hidat építeni, ami képes ezt a negyedik (pontosan ugyanilyen) poharat a három pohár között középen a poharak tetejével közel egyvonalban stabilan megtartani!

Arszlán és Cipórián egymásra nézett, majd Cipórián a homlokára csapott.

– Hiszen ez egyszerű! – és már neki is látott az építésnek…

Megfejtés

Gratulálunk mindkét megfejtőnknek.

A második feladványra pedig asszem ez a megoldás.

Lámpák és kapcsolók III

encse — Mon, 30 Nov 2009 08:36:00 +0000

Az alábbi feliratot Cooldavee-nek köszönhetjük.

Barátaink sajnos valahol elszámolták magukat, így nem menekültek meg a börtönből. Egy harmadik alkalommal azonban az állami ünnepségek alkalmával új lehetőséghez jutottak.

Az őrök az elnök úr parancsára, ezúttal egy nagy lámpafalat szereltek fel a börtön egyik épületének oldalára. A lámpák négyzet alakban, egymás fölött és mellett helyezkedtek el, hasonlóan egy mátrix elemeihez.

A mátrix minden sorához és oszlopához tartozott egy-egy kapcsoló, amivel az egész sor, illetve oszlop összes lámpáját egyszerre lehetett átállítani: ha a lámpa eddig ki volt kapcsolva, akkor bekapcsolni, és fordíva.

A játék ezúttal az volt, hogy minden rab, aki le tudja kapcsolni az összes lámpát, egy nap kimenőt kap az ünnepségekre. Minden próbálkozás előtt egy őr állította be a lámpákat, de természetesen úgy, hogy a kapcsolgatás sorrendjét a próbálkozó nem látta.

Barátaink ezt a lehetőséget használták ki arra, hogy végre megszökjenek a Lámpák és kapcsolók országából. Milyen algoritmust használhattak?

Megoldás

A kijelző bármely két sorára igaz az alábbi két állítás valamelyike:
a) az egymás fölötti lámpák ugyanabban az állásban vannak bennük;
b) az egymás fölötti lámpák ellentétes állásban vannak bennük.

Kezdetben ez nyilván teljesült, hiszen akkor minden lámpa le volt kapcsolva. A sorok és oszlopok kapcsolgatása pedig nem rontja el ezt a tulajdonságot.

Ezután egy jó megoldás pl. a következő: kapcsoljuk le az első sor minden lámpáját az oszlop kapcsolók segítségével, majd az esetleg fennmaradó, most már teljesen világító, sorokat kapcsoljuk le a sor kapcsolókkal.

Gumi fogaskerék díjat ezúttal nem tudok adni, mert szerintem nem sikerült elég jól megfogalmaznotok a fentieket. Különdíjat érdemel csakazértse szemléltetése, amivel az algoritmus egyszerűen kidolgozható.

Lámpák és kapcsolók II

encse — Fri, 20 Nov 2009 09:58:00 +0000

Arszlán, Belián és Cipórián 97 másik "barátjával" együtt volt bezárva valahol. Egy napon az őrök mindenkit felsorakoztattak az udvaron.

– Emberek! Az elnök úr a születésnapjára való tekintettel mindenkinek kegyelmet igért, feltéve, hogy kiálljátok a következő próbát. Én ugyan egy cseppet sem bízom bennetek, de vezetőnk itt élet-halál ura, tehát tolmácsolom, amit nekem mondott.

– Van egy szoba a hatos szárnyon, amiben van két lámpa, és mindegyikhez egy-egy kapcsoló. Mostantól fogva időről-időre kiválasztok közületek valakit. Tetszőlegesen. Lehet, hogy valakit egymás után ötször is elviszek, lehet, hogy valakire jó ideig nem kerül sor. Előbb-utóbb azonban mindenkit kiválasztok majd. Ezt az embert beviszem a szobába, és engedem, hogy a kapcsolókon állítson, a lámpák világításáról meggyőződjön.

– Ha, és ez egy nagyon nagy HA, emberek… Ha ezután a rab azt mondja, hogy biztos benne, hogy már mind a százan megfordultatok a szobában, és tényleg eltalálja a dolgot, akkor másnap reggel mindenki amnesztiával hazamehet. Ha viszont téved, akkor, jómadarak, nincs több lehetőségetek.

– A továbbiakban teljesen elszeparálunk titeket egymástól, most azonban még kaptok egy kis időt arra, hogy tanácskozzatok.

Ezután az őrök elvonultak, a rabok pedig összedugták a fejüket. Végül három barátunk állt elő a győztes javaslattal. Mi lehetett az?

Megoldás

Nagyjából összeraktátok, de álljon itt egy összefoglaló is.

1. megoldás

Arszlán a főnök, ő mindkét lámpát kapcsolgatni fogja, a többiek csak a "kettes" lámpát

Egy rab akkor kapcsolja fel a kettes lámpát, ha 1) még eddig nem kapcsolta fel, illetve ha 2) már korábban felkapcsolta, de azóta megváltozott az "egyes" lámpa állapota.

Arszlán a kettes lámpát mindig lekapcsolja, ebből tudja ugyanis meg, hogy legutóbbi látogatása óta jártak-e a szobában más rabok. Első látogatásakor átállítja az egyes lámpát is, hogy azok a rabok, akik esetleg előtte már jártak a szobában, újra kapcsolják fel a lámpájukat.

Az egész játék addig megy, amíg Arszlán össze nem számol 99 rabot.

Ez 100.000-es minta alapján kb. 10.520 látogatást vesz igénybe.

2. megoldás

A rabok a lámpák állásához hozzárendelnek egy kettes számrendszerbeli számot (felkapcsolt lámpa:1, lekapcsolt lámpa: 0).

Ha az éppen bekísért rab nem tudja növelni az értéket túlcsordulás nélkül, akkor nem csinál semmit, egyébként megnöveli az értéket eggyel, ezt viszont legfeljebb 4 alkalommal csinálja meg.

Arszlán a többiektől etérően viselkedik. Ő mindig 00-ra állítja a lámpákat és összeadja az eddig látott értékeket.

Namost. Attól függetlenül, hogy Arszlán első belépése előtt jártak-e már rabok a szobában vagy sem, Arszlán számlálója előbb utóbb el fogja érni a 4*98+1 = 393-at. Ekkor azonban a skatulya elv alapján biztos lehet benne, hogy minden rab megfordult már a szobában legalább egy alkalommal.

A négyszeri kapcsolgatás azért szükséges, mert Arszlán nem ismeri a lámpák kezdőállapotát, így az első néhány (legfeljebb 3) kapcsolást nem tudja beszámítani az összegbe.

Az algoritmus futásideje, 100.000-es mintán vizsgálva kb. 13.909 látogatás…

Lámpák és kapcsolók

encse — Fri, 13 Nov 2009 04:30:00 +0000

Egy másik alkalommal Beliánt a fegyőr egy szobához kísérte, amiben három kapcsoló volt.

– Na, jómadár. Ez a három kapcsoló odakint három izzóhoz kapcsolódik. – kezdte. – Mindegyik egyet kapcsol fel, külön-külön. Játszhatsz a kapcsolókkal, majd kisétálunk és ha eltalálod, hogy melyik kapcsoló melyik izzóhoz tartozik, akkor egye fene, este megnézhetitek a meccset.

– Hosszan gondolkoztam, – meséli Belián – aztán előálltam egy ügyes módszerrel.

Mi lehetett az?

Megoldás

Belián egy időre bekapcsolt egy lámpát, hogy felmelegedjen az izzó, ezt kis idő múlva kikapcsolta, és felkapcsolt egy másikat. Így kilépéskor tudta, hogy a világító, a hideg és a meleg izzó melyik kapcsolóhoz tartozik.

Sajnos ezzel nem ért véget a kapcsolókkal és lámpákkal kapcsolatos feladatok sora, de ez már egy másik lapra tartozik…