-Maya – Fogaskerék

Post Mortem: IPhone vs. PC

-Maya — Thu, 08 Apr 2010 08:00:00 +0000

Bár a blog sajnos úgy tűnik végképp teljes érdektelenségbe fulladt, a következő – élet által írt – problémát kár lenne kihagyni. Lehet ez az utolsó szög…

Adva van Encsé, akinek IPhone-ján és a laptopján is be van állítva, hogy ugyanolyan időközönként, mondjuk 10 percenként csekkolja a leveleket ugyanazon a szerveren. Minden levelet kijelzi mindkét készülék, de persze hol az egyik, hol a másik fog előbb csipogni. Illetve Encsé bevallása szerint szinte mindig a ~~szifon~~ IPhone csipog először. Vajon csak ugrat, vagy előfordulhat ez?

Arszlán, Belián és Cipórián mindeközben lassan ellovagoltak a lenyugvó nap felé. Sziluettjük belemosódott a felvert porfelhőbe. Feljött a Hold, és csodálkozva nézte a nyomukat, mely a látóhatárig és talán azon is túl vezetett a csillogó szürke homokban. Csendben elmosolyodott…

“Nézd és mondd” sorozatok

-Maya — Tue, 16 Mar 2010 06:00:00 +0000

Az előző posztban szereplő sorozat egy speciális esete az "nézd és mondd" (angolul "look and say") szabállyal képezhető sorozatoknak, melyekkel John Horton Conway zseniális brit matematikus sokat foglalkozott. Nem véletlenül ismerős Conway neve, hiszen – sok más izgalmas dolog mellett – az Életjáték felfedezője is ő.

Nézzünk egy példát, hogy is működik a dolog:

induljunk ki a következő kezdeti értékből: 11
11 az "két egyes", tehát a következő elem 21,
21 az "egy kettes, egy egyes", azaz 1211
1211 pedig "egy egyes, egy kettes, két egyes", tehát 111221
stb.

Conway tett néhány érdekes megállapítást az ilyen típusú sorozatokról:

A számjegyek között az 1,2,3-on kívül más nem fordul elő, hacsak a kezdőértékben nem volt 3-nál hosszabb ugyanabból a számjegyből egymás mellett, vagy eleve magasabb számjegy.
A sorozat tagjainak hossza (kivéve a 22, 22, 22,… degenerált esetet), a kezdőértéktől függetlenül határ nélkül növekszik.
A szomszédos tagok hosszának aránya ekkor közelítőleg 1,30357…-hez tart, melyet Conway-féle konstansnak hívnak.

A Conway konstans egyébként meghatározható egy 71-ed fokú polinom egyetlen pozitív valós gyökeként. Lásd itt.

Az audioaktív bomlás csodálatos kémiája

Ez mind szép és jó, de Conway nem állt meg itt, hanem egész saját univerzumot kreált ezeknek a sorozatoknak. Észrevette ugyanis, hogy a sorozat tagjai előbb-utóbb szétbomlanak olyan – általa "eleminek" nevezett – részekre, melyek utána már nem lépnek egymással "kölcsönhatásba". Egészen pontosan 92 db ilyen "elem" létezik feltéve, hogy csak 1,2,3 számjegyek szerepelnek. Ezeket az elemeket a kémia elemek mintájára nevezte el hidrogéntől az uránig. Ha megengedünk 3-nál nagyobb számjegyeket is, akkor még néhány "transzurán" elemmel bővül a kínálat.

Minden fenti sorozatban a tagok egy idő után "elemi" részekből álló "vegyületekké" esnek szét. Ezen túlmenően, az elemek relatív gyakorisága fix, jól meghatározott számokhoz konvergál. Például minden tizenegyedik atom a leggyakoribb "elem", a hidrogén, ha kellően hosszú (többmillió atomból álló) tagokat nézünk.

További információ a Mathworldön.

Ja és ha valakinek meglenne az eredeti Conway cikk, vagy valamelyik reinkarnációja, hálás lennék, ha megosztaná velem (lásd irodalomjegyzék az előző linken).

Megfejtésért ingyensör!

-Maya — Thu, 11 Mar 2010 09:30:00 +0000

A sok nehéz, számolgatós matematikai feladat után lássunk most néhány egyszerűbbet. Íme az első.

Utazásai során Arszlán egyszer elvetődött egy félreeső városka kocsmájába. A söntés mellett egy táblán a következő feliratra lett figyelmes:

11

21

1211

111221

312211

13112221

A kocsmáros elárulta, hogy mindenki aki a sorozat következő elemét helyesen fel tudja írni a táblára, az a ház vendége egy italra. Arszlán bár fáradt volt az egész napos utazástól, nem volt rest és gyorsan kitalálta a megoldást.

Nos, mit írt hősünk a táblára? Mi a szabályszerűség ebben a sorozatban?

Csak hardcore rajongóknak (ezek a kérdések már nem is olyan könnyűek):

Meddig nőhet az elemek hossza ahogy haladunk előre a sorozatban? Tudunk-e valamit mondani a növekedés üteméről?
Mit tudunk mondani a számjegyek előfordulásáról a sorozat elemeiben?
Meg tudjuk-e adni a sorozat következő elemét képlettel?
Mi a helyzet a fentiekkel más kezdőérték esetén?

A titkos terv

-Maya — Thu, 04 Mar 2010 06:00:00 +0000

Ez még abban az időben történt, amikor a számítógépeket nem volt olyan egyszerű rákötni projektorra és a prezentációkat irásvetítő fóliára kellett szerkeszteni.

Cipóriánnak eszébe jutott egy zseniális terv a városi bank kirablására. Nagyon szerette volna cinkostársainak megmutatni tervét, mely oly zseniálisan egyszerű volt, hogy egy oldalra ráfért az egész. Cipórián viszont nagyon félt, hogy rivális csoportok vagy esetleg a rendőrség kezébe kerülhetnek a tervek. Így azt találta ki, hogy több fóliát fog használni, melyek egymásra téve (és átvilágítva) pont a kívánt ábrát adják ki. Úgy gondolta, hogy maximum két fóliát esetleg ellophatnak tőle, ezért úgy szerkesztette meg őket, hogy bármelyik kettőt kivéve a csomagból abból a két fóliából semmilyen információt ne lehessen megtudni a tervéről.

Hogy csinálhatta?

Megjegyzések

Az egyszerűség kedvéért feltehető, hogy csak fekete-fehér, vagy esetleg szürkeskálás ábráról van szó. Az ábrát vehetjük diszkrét pontokból (pixelekből) állónak.

Az eredményül kapott ábrának (ha az összes fóliát egymásra rakjuk) nem kell feltétlenül nagyon kontrasztosnak vagy élesnek lennie, a lényeg, hogy felismerhető legyen.

Minden fóliát fel kell használni!

Mivel ez nem egy olyan egyszerű, magától értetődő feladat, tessék nyugodtan ötletelni a kommentekben!

Túl sok a jóból

-Maya — Mon, 08 Feb 2010 10:00:00 +0000

Középiskolában azt tanultuk, hogy másodfokú egyenletnek legfeljebb 2 db valós gyöke lehet. Így volt ezzel Arszlán is, ám egy nap a következő különös egyenlet jött vele szembe:

Észrevette, hogy mivel az egyenlet szimmetrikus a három paraméterre, az általánosság megsértése nélkül feltehető, hogy a

Légymászóka

-Maya — Mon, 01 Feb 2010 06:00:00 +0000

A postafiókunk áttúrása után találtam a következő feladatot, melyet EÖ küldött. Köszönjük!

Van egy hengeres alakú üvegpohár (Beliánnak :D), a külsején, a palást tetszőleges A pontjában egy légy, észrevesz a pohár belső palástjának felületén a B pontban egy kis szörpmaradványt. Hogyan jut el a legrövidebb úton A pontból B pontba? Milyen alakú a megtett pálya, ha nem repül, hanem mászik?

Bónusz feladat: ugyanez pohár helyett Menger-szivaccsal

(Bónusz 2: légy helyett Menger-szivaccsal…)

Kirándulás

-Maya — Mon, 18 Jan 2010 07:00:00 +0000

Arszlán, Belián és Cipórán ezúttal kirándulni mentek a hegyekbe. Sikerült elrángatni magukkal rendszergazda haverjukat, Debiánt is. Már hazafelé tartottak mikor rájuk esteledett és a hazavezető ösvényen utolsó akadályként egy függőhíd előtt találták magukat. Sötétben életveszélyes lett volna megkísérelni az átkelést. Ráadásul egyszerre legfeljebb ketten mehettek át a hídon. Szerencsére volt náluk egy zseblámpa, de aggódtak, hogy esetleg kifogy az elem, mire mind átérnek. További nehézséget jelentett, hogy nem egyforma sebességgel tudtak haladni, Arszlán 1, Belián 2, Cipórián 5 és Debián, a rendszergazda 10 perc alatt képes átkelni a hídon. Ha ketten mennek természetesen csak a lassabb tempójában tudnak haladni.

Milyen sorrendben keljenek át, ha a lehető legrövidebb idő alatt szeretnének átérni?

Megoldás

Figyelemre méltó, hogy erre a feladatra nagyon sokan kapásból a cooldavee által is részletesen kifejtett, nagyon meggyőző, de sajnos teljesen hibás megoldást adják.

A hoppá érzés igazán akkor fog el, amikor rájövünk, hogy az is visszajöhet aki még előzőleg ment át a hídon. A feladatban szereplő adatokkal így 17 percre jön ki a leggyorsabb stratégia, mely lehet pl. a következő: AB(A), CD(B), AB. Zárójelben a visszatérő embert jelöltem.

Ezúttal csakazertse-nek gratulálunk az első jó megoldáshoz.

Vadászkaland

-Maya — Thu, 07 Jan 2010 14:00:00 +0000

BUÉK mindenkinek! Lássuk az idei első feladatot. Ezúttal Belián mesél vadászélményeiről:

…

És akkor megláttam azt a hatalmas medvét tőlem pont északra! Kb. 100 méterre lehetett, de a széljárás nem volt kedvező, így óvatosan kelet felé mentem úgy 100 métert. A medve közben nem mozdult. Északnak fordulva céloztam és egy lövéssel leterítettem a medvét.

…

Nos, hogy lehetséges ez? Milyen színű volt a medve?

Megoldás

A fent leírt szituáció a következő módokon fordulhat elő (az egyszerűség kedvéért a Földet most gömbfelületként képzeljük el).

A medve pont az Északi-sarkon áll, a vadász 100m-re tőle bármilyen irányban.
A medve az Északi-sarktól kicsit délre áll, úgy, hogy az Északi-sark a vadász és a medve között van. A vadász pont a 100m kerületű szélességi körön áll, így a végére visszaérkezik a kiindulási helyére.
Mint 2. de a szélességi kör kerülete osztója a 100 méternek, így a vadász egynél több teljes kört megy mielőtt visszakerül kiindulási helyére.
Mint 2., de a vadász a medve hátába kerül egy félkör megtétele után.
Mint 4. de a 3-as megoldáshoz hasonlóan valahány-plusz-egy-fél kör megtétele vár a vadászra.
A vadász a Déli-sark környékén egy olyan szélességi körön áll, melynek kerülete egész osztója a 100 méternek.

A 4-es és 5-ös megoldás a feladat kiírásában szereplő adatokkal sajnos nem működik, de pl. 200 méteres sétával a 100 helyett már igen (vagy kisebb kezdeti távolsággal).

A Déli-sarkon nem élnek medvék, így ez kiesik. (Hacsak nem számítjuk a plüssmackót.)

A kanonikus válasz ezek után persze az, hogy a medvének jegesmedvének kellett lenni, tehát a medve fehér volt.

Sajnos úgy tűnik az Északi-sark közvetlen környezében – Beliánon kívül – senki nem látott még jegesmedvét… mondjuk ami késik nem múlik, sajnos ahogy fogyogat a sarki jégsapka a macik előbb-utóbb ott is meg fognak jelenni (aztán ha elolvadt az egész akkor nagy bajban lesznek persze – meg mi is).

Ha kihagytam valamit, szóljatok!

Hálás köszönet csakazértse linkjeiért, és Tresher szakmai segítségéért.

Hány évesek?

-Maya — Thu, 10 Dec 2009 08:30:00 +0000

Egy könnyű levezető feladat így hétvége előtt, rendszeres olvasónktól, EÖ-től.

Két ~~matematikus~~ zsivány találkozik (nyilván az egyik Arszlán, a másik Cipórián), együtt jártak általános iskolába, de már sok éve nem látták egymást.
-Szia! Mi újság? Család? Gyerekek?
– Vannak!
– Na és hány évesek a gyerekek?
– Azt nem árulom el, találd ki.
– Nem bánom. Kezdjük.
– Hárman vannak, az életkoruk szorzata 36.
– Ennyi nem elég komám!
– Tudom, az életkoraik összege pont annyi, mint ahány ablak azon a sárga épületen van.
– Hát ez még mindig kevés komám.
– Na jó, a legkisebb szemüveges.
– Ja vagy úgy, akkor már tudom!
Tényleg tudja? Hány éves a három kölyök?
(Ez az általános iskolai feladatgyűjteményben volt, és a matektanár szerint megoldhatatlan butaság. Tényleg az?)

Köszönjük a feladatot, küldjetek még sok ilyet!

Megoldás

cooldave megint elvégezte helyettünk a piszkos munkát, megoldása teljes egészében fedi a mi okoskodásunkat. A szemüveg valóban lényegtelen információ, a lényeg, hogy van legkisebb gyerek.

Ezúton kívánok mindenkinek békés, boldog ünnepeket! Az idei utolsó feladat egy kicsit más lesz mint az eddigiek, jó gondolkodást hozzá és jövőre találkozunk!