Hosszan próbálkoztak, aztán valamelyikük előállt a megoldással.

Adva van Encsé, akinek IPhone-ján és a laptopján is be van állítva, hogy ugyanolyan időközönként, mondjuk 10 percenként csekkolja a leveleket ugyanazon a szerveren. Minden levelet kijelzi mindkét készülék, de persze hol az egyik, hol a másik fog előbb csipogni. Illetve Encsé bevallása szerint szinte mindig a szifon IPhone csipog először. Vajon csak ugrat, vagy előfordulhat ez?

Arszlán, Belián és Cipórián mindeközben lassan ellovagoltak a lenyugvó nap felé. Sziluettjük belemosódott a felvert porfelhőbe. Feljött a Hold, és csodálkozva nézte a nyomukat, mely a látóhatárig és talán azon is túl vezetett a csillogó szürke homokban. Csendben elmosolyodott…

 

Nézzünk egy példát, hogy is működik a dolog:

• induljunk ki a következő kezdeti értékből: 11
• 11 az "két egyes", tehát a következő elem 21,
• 21 az "egy kettes, egy egyes", azaz 1211
• 1211 pedig "egy egyes, egy kettes, két egyes", tehát 111221
• stb.

Conway tett néhány érdekes megállapítást az ilyen típusú sorozatokról:

• A számjegyek között az 1,2,3-on kívül más nem fordul elő, hacsak a kezdőértékben nem volt 3-nál hosszabb ugyanabból a számjegyből egymás mellett, vagy eleve magasabb számjegy.
• A sorozat tagjainak hossza (kivéve a 22, 22, 22,… degenerált esetet), a kezdőértéktől függetlenül határ nélkül növekszik.
• A szomszédos tagok hosszának aránya ekkor közelítőleg 1,30357…-hez tart, melyet Conway-féle konstansnak hívnak.

A Conway konstans egyébként meghatározható egy 71-ed fokú polinom egyetlen pozitív valós gyökeként. Lásd itt.

Az audioaktív bomlás csodálatos kémiája

Ez mind szép és jó, de Conway nem állt meg itt, hanem egész saját univerzumot kreált ezeknek a sorozatoknak. Észrevette ugyanis, hogy a sorozat tagjai előbb-utóbb szétbomlanak olyan – általa "eleminek" nevezett – részekre, melyek utána már nem lépnek egymással "kölcsönhatásba". Egészen pontosan 92 db ilyen "elem" létezik feltéve, hogy csak 1,2,3 számjegyek szerepelnek. Ezeket az elemeket a kémia elemek mintájára nevezte el hidrogéntől az uránig. Ha megengedünk 3-nál nagyobb számjegyeket is, akkor még néhány "transzurán" elemmel bővül a kínálat.

Minden fenti sorozatban a tagok egy idő után "elemi" részekből álló "vegyületekké" esnek szét. Ezen túlmenően, az elemek relatív gyakorisága fix, jól meghatározott számokhoz konvergál. Például minden tizenegyedik atom a leggyakoribb "elem", a hidrogén, ha kellően hosszú (többmillió atomból álló) tagokat nézünk.

További információ a Mathworldön.

Ja és ha valakinek meglenne az eredeti Conway cikk, vagy valamelyik reinkarnációja, hálás lennék, ha megosztaná velem (lásd irodalomjegyzék az előző linken).

Utazásai során Arszlán egyszer elvetődött egy félreeső városka kocsmájába. A söntés mellett egy táblán a következő feliratra lett figyelmes:

11

21

1211

111221

312211

13112221

A kocsmáros elárulta, hogy mindenki aki a sorozat következő elemét helyesen fel tudja írni a táblára, az a ház vendége egy italra. Arszlán bár fáradt volt az egész napos utazástól, nem volt rest és gyorsan kitalálta a megoldást.

Nos, mit írt hősünk a táblára? Mi a szabályszerűség ebben a sorozatban?

Csak hardcore rajongóknak (ezek a kérdések már nem is olyan könnyűek):

Cipóriánnak eszébe jutott egy zseniális terv a városi bank kirablására. Nagyon szerette volna cinkostársainak megmutatni tervét, mely oly zseniálisan egyszerű volt, hogy egy oldalra ráfért az egész. Cipórián viszont nagyon félt, hogy rivális csoportok vagy esetleg a rendőrség kezébe kerülhetnek a tervek. Így azt találta ki, hogy több fóliát fog használni, melyek egymásra téve (és átvilágítva) pont a kívánt ábrát adják ki. Úgy gondolta, hogy maximum két fóliát esetleg ellophatnak tőle, ezért úgy szerkesztette meg őket, hogy bármelyik kettőt kivéve a csomagból abból a két fóliából semmilyen információt ne lehessen megtudni a tervéről.

Hogy csinálhatta?

Megjegyzések

Az egyszerűség kedvéért feltehető, hogy csak fekete-fehér, vagy esetleg szürkeskálás ábráról van szó. Az ábrát vehetjük diszkrét pontokból (pixelekből) állónak. 

Az eredményül kapott ábrának (ha az összes fóliát egymásra rakjuk) nem kell feltétlenül nagyon kontrasztosnak vagy élesnek lennie, a lényeg, hogy felismerhető legyen.

Minden fóliát fel kell használni!

Mivel ez nem egy olyan egyszerű, magától értetődő feladat, tessék nyugodtan ötletelni a kommentekben!

A hölgyek egymás után jöttek be a palotába, Arszlán pedig egyesével eldönthette, hogy megelégszik-e az adott hölggyel, vagy inkább megnézi a következőt. Mivel utólag vissza már nem hívhatott hölgyeket, mindössze annyit tehetett, hogy előbb felmérte a háremet az első néhány lány megtekintésével, és ezután kiválasztotta az első olyat, aki szebb volt az addigiaknál.

Természetesen, ha túl sok lányt nézett volna meg az elején, akkor a végén talán egy csinosabb sem lett volna náluk, így nagyon is fontos ennek az előzetes felmérési szakasznak a hossza.

Ha tudjuk, hogy a háremben 300 lány volt, és teljesen véletlenszerű sorrendben vonultak fel, hány lányból álljon a felmérés ahhoz, hogy a legnagyobb legyen az esély a legszebb kiválasztására?

Arszlán rábökött az egyik ajtóra, aztán a porondmester kinyitott egy másikat, amiről viszont előre megmondta, hogy nem a királylány lesz mögötte.

Ezután Arszlán még egyszer meggondolhatta, hogy kitart-e az eredeti ajtó mellett, vagy mégis inkább áttér a harmadikra.

Attól teljesen függetlenül, hogy mit választott végül, hiszen tudjuk, hogy azóta is él és virul, arra vagyunk kíváncsiak, hogy mi lett volna a helyes döntés… Hogyan okoskodhatott?

Észrevette, hogy mivel az egyenlet szimmetrikus a három paraméterre, az általánosság megsértése nélkül feltehető, hogy a<b<c. Ezenkívül szembeötlő, hogy x=a, x=b, és x=c is mind megoldásai az egyenletnek. Pedig ez egy másodfokú egyenlet! Hogy lehet ez?

Van egy hengeres alakú üvegpohár (Beliánnak :D), a külsején, a palást tetszőleges A pontjában egy légy, észrevesz a pohár belső palástjának felületén a B pontban egy kis szörpmaradványt. Hogyan jut el a legrövidebb úton A pontból B pontba? Milyen alakú a megtett pálya, ha nem repül, hanem mászik?

Bónusz feladat: ugyanez pohár helyett Menger-szivaccsal

(Bónusz 2: légy helyett Menger-szivaccsal…)

A játékot két személy játssza, és felváltva választanak egy kupacot, majd abból tetszés szerint néhány szál gyufát elvesznek maguknak. Ezután a másik játékos jön, ő is választ, és elvesz annyit, amennyit akar. A lényeg, hogy egyszerre csak az egyik kupacból vehet el gyufát, és mindenképp legalább egyet el kell vennie.

A játékot az nyeri, aki az utolsó szál gyufát elveszi.

Beliánt néhány kör után ki kellett zárni, mert mindig ő nyert, így Arszlán és Cipórián közt folyt a verseny napkeltéig.

Kérdésünk az, hogy milyen trükköt ismerhetett Belián. Adjunk nyerő stratégiát a kezdő játékos számára. Mi a helyzet abban az esetben, ha az veszít, akinek az utolsó gyufát el kell vennie?

Megoldás