A feladat nehézségét az adja, hogy a törtrész függvénnyel nem igazán lehet jól bánni. Próbáljunk is tőle megszabadulni a következő módon. Legyen

a_n  := (2+√3)ⁿ

b_n := (2-√3)ⁿ

c_n := a_n + b_n

Mi a_n törtrészének határértékét keressük.

Az érdekesség az, hogy c_n egész, ami a binomiális kifejtéséből könnyen látható, ugyanis az √3 páratlan hatványai mind kiesnek belőle a különböző előjelek miatt. A maradék csupa egész szám lesz. Most persze mindjárt jön a kérdés, hogy honnan húztuk elő b_n-t. Lehet játszani az eredeti sorozattal, pl. megpróbálni explicit képletet adni a √3-as tag együtthatóira, meg a “többi” részre. Ott pl. felbukkan a kérdéses tag. Cooldavee is írt egy jó megoldást. Esetleg rákeresni a b_n egészrészéből képzett sorozat elemeire a világhálón. (Mi az első és harmadik ötletet próbáltuk.)

Mindenesetre, ha már egyszer megvan c_n, onnan gyerekjáték az egész. Ugyanis c_n éppen a_n felső egészrésze, hiszen b_n < 1.

Ebből következik, hogy az 1-b_n éppen az a sorozat, aminek a határértékét keressük:

{a_n} = 1 – b_n

de lim(1- b_n) = 1 – 0.

Így a végeredmény 1.

Megjegyzés c_n éppen az n-edik Heron háromszög (olyan háromszög, aminek területe egész valamint oldalainak hossza 3 egymást követő egész szám) középső oldalával egyenlő. Ezt közelíti a_n alulról.