Három kedvenc gazfickónk ezúttal futóversenyt rendez. Kijelölnek egy nagyjából 100 méteres távot, aztán egyszerre indulnak. Arszlán ér be először a célba 5 méterrel lehagyva Beliánt és 10 méterrel Cipóriánt. Ez mondjuk nem okoz meglepetést, tudják, hogy Arszlán a legjobb futó és Cipórián a leggyengébb. Hogy a verseny fair legyen, mégegyszer rajthoz állnak, de most Arszlán 10 méterrel, Belián pedig 5 méterrel a rajtvonal mögül indul. Feltéve, hogy másodszor is mindenki hozza pontosan ugyanazt a formáját amit először, mi a várható eredmény?
Számolgatás nélkül is belátható, hogy a sorrend változatlan, vagyis még így is Arszlán győz és Cipórián fut be utolsónak. Képzeljük el, hogy az első menetet ügyes utómunkával megváltoztatjuk úgy, hogy Arszlánt 10 méterrel, Beliánt pedig 5 méterrel hátrébb húzzuk. Ez azt jelenti, hogy Arszlán befutásának pillanatában pont egyvonalban lesznek. Igenám, de a második körben ekkor még van előttük 10 méter. Ezt nyilván a gyorsabban futó Arszlán teszi meg hamarabb, Belián pedig a második lesz és Cipórián ismét a bronzéremmel vigasztalódhat.
Ha tényleg fair versenyt szerettek volna, akkor Beliánnak és Cipóriánnak kellett volna 5, illetve 10 méterrel előrébbről indulnia.
Comments are closed.
Először is a feladat nem jó. Ugyanis elvileg nem lehet kiszámolni, hogy mi lesz a sorrend. Jó közelítéssel élve egy 100 méteres futás úgy néz ki, hogy a rajt után először t1 ideig késlekedik a futó, majd t2 ideig gyorsul, majd t3 ideig egyenletes sebességgel halad, ahol t1, t2 és t3 emberfüggő, összegük meg a futásának ideje. Ilyen feltételekkel pedig nyilván nem lehet megmondani.
A feladat tehát nyilván csak úgy értelmes, ha feltesszük, hogy végig egyenletes vonalú egyenletes mozgással haladtak. Azért, mert csak így oldható meg. 🙂
Innen viszont már könnyű a dolgunk. Legyen Arszlán ideje t, neki ennyi kell a 100 méterhez. A 110 méterhez így neki 11/10*t kell, Beliánnak a 105 méterhez 105/95*t kell (mert 95-höz kellett neki t), Cipriánnak meg 100/90*t kell a 100 méterhez. Közös nevezőre hozva őket: 1881/1710, 1890/1710 és 1900/1710, azaz a befutási sorrend nem fog változni, bár a verseny – triviálisan – szorosabb lesz.
Az első alkalommal A 100m-t, B 95m-t, C 90m-t tett meg adott idő alatt.
A második alkalommal A 10m-reel, B 5m-rel hátrébbról indul.
Ha az előző teljesítményt megismétlik az előbb ‘adott idő’ alatt a cél előtt 10m-rel lesznek egymás mellett.
A végső sorrend így változatlan marad, csak a távolságok csökkennek arányosan: A nyer, B mőgőtte 50cm-rel, C 10-zel.
Szinte magát teszi fel persze ezek után az a kérdés, hogy akkor vajon mégis hány méter előnyt kellene adni Beliánnak és Cipóriánnak, hogy valóban döntetlen legyen a várható eredmény?
Tegyük fel, hogy Arszlán 20 másodperc alatt futja a százat, így az első versenyen az ő eredménye 20 másodperc, míg Belián 21,05 másodperc alatt teszi meg a száz métert [(20/95)*100], szegény Cipóriánnak pedig 22,2 másodperc kell a száz méter végigfutásához [(20/90)*100].
A második versenyen Arszlán a 110 métert 22 másodperc alatt futja (20*1,1), Belián 22,1025 másodperc alatt (21,05*1,05), míg Cipórián az előző esethez hasonlóan 22,2 másodperc alatt szántja végig a pályát.
Az eredmény tehát változatlan lesz, bár jóval kisebb különbség mellett: Arszlán az első, kb. egytizeddel utána Belián, míg kéttizeddel utána Cipórián ér be a célba.
Szerintem ezek mind feleslegesen túlbonyolított megoldások.
Először A,B és C t idő alatt 100, 95 és 90 métert tettek meg.
Gondolom másodszorra is, ezzel tehát t idő alatt holtverseny alakul ki a céltól 10 méterre.
A fennmaradó 10 métert gondolom arányosan teszik meg, mint az első futás 100 méterét, tehát a sorrend nem változik, viszont az “előnyök” a tizedére, 0,5 illetve 1 méterre csökkennek.
@Lőry: Már vártam, hogy megkérdezd. 😉
Eredetileg ennyi utat tettek meg:
A: s (azaz kb. 100 méter)
B: s-5 (azaz kb. 95 méter)
C: s-10 (azaz kb. 90 méter)
Ha azt akarjuk, hogy C lefussa az egész távot, akkor át kell skáláznunk ezeket a számokat, mindegyiket megszorozva s/(s-10) hányadossal. Ez persze a v=s/t egyenletekből is szépen kijön:
A: s^2/(s-10) (azaz kb. 1000/9 méter, azaz kb. 111.11 méter)
B: s*(s-5)/(s-10) (azaz kb. 950/9 méter, azaz kb. 105.56 méter)
C: s (azaz kb. 100 méter)
Tehát Arszlánnak kb. 11.11 méterrel, míg Beliánnak kb. 5.56 méterrel kellene a rajtvonal mögül indulnia ahhoz, hogy egyszerre érjenek célba.
Alternatív megoldás, amihez a 3 futónak kevesebbet kell számolgatnia: kezdetben fussák le végig a kb. 100 métert, ekkor nyilván különböző idők alatt futják le a kb. 100 métert:
t_a < t_b < t_c.
Ezután induljanak megint a rajtvonalról egymás mellől, de különböző időkben. Cipórián a rajtpisztoly dörrenésére azonnal induljon el, Belián a rajtpisztoly után t_c-t_b idővel, Arszlán pedig a rajtpisztoly után t_c-t_a idővel (avagy Belián után t_b-t_a idővel). Az egész verseny t_c ideig tart.
Igen, a várható eredményre mindenki ráérzett. Amúgy szerintem akkor érnének be egyszerre ha Arszlán indulna a startvonalról, a többiek pedig 5 és 10 méterrel előrébb. Ahogy már rusty le is írta, hogy másodszor a cél előtt 10 méterrel lennének egy vonalban.