Nem sokkal a párbaj után Cipórián furcsát álmodott, később így örökítette meg az esetet.
Madárvers
Írta: Cipórián a Lator
Hétvégén egy mezőn jártam,
néhány fával, mindegyiken több madárral.
Több mint egy fa, már-már erdő,
s mennyi madár, egész felhő!Járok-kelek, nézegetek.
Számolgatok, jegyzetelek.
Elámulok, mit álmodok?Minden fán ugyanannyi madár,
összesen 200-300 is meglehet tán!Tovább bonyolódik az eset:
pontos számukból a fák száma is meglehet.
Kérdésünk ezúttal az, hogy mit szív hány madárról és hány fáról álmodhatott a szerző.
Megjegyzés: mostantól a hozzászólások előzetes moderálás után kerülnek csak fel az oldalra. Nyugodtan írjatok megoldásokat, megjelennek majd, de csak a hivatalos megoldással egyidőben. A feladatok pontosítására vonatkozó kérdéseket természetesen hamarabb megjelentetjük.
Legyen a madarak száma M, a fák száma F, valamint az egy fára jutó madarak száma m. Erre az M = Fm összefüggés érvényes a harmadik versszak alapján.
Az első versszakból kiderül, hogy F > 1, m > 1, a harmadikból pedig, hogy 200 <= M <= 300.
A negyedik versszak alapján M egyértelműen írható fel két (1-nél nagyobb) egész szorzataként. Ezalapján M nem lehet más mint egy prímszám négyzete. Márpedig egyetlen olyan prím van aminek a négyzete 200 és 300 közé esik: a 17. Tehát F = 17, m=17 és M = 289.
Összefoglalva: a mezőn 17 fa és 289 madár volt.
Gratulálunk a megfejtőknek, készüljetek a hétfőre! (Azért a matematikus tanulmányokat folytatóknak hétvégére posztoltunk egy analízis feladatot is.)
Comments are closed.
Cipórián nem is álmodhatott, hiszen ő a párbajban biztos meghal…
Olvass utána mi lett a párbaj vége 🙂
Szép feladat. Nem nehéz, de szép.
Az tudjuk, hogy 200 és 300 közti a számuk, több fa van, minden fán több madár és ráadásul ugyanannyi. Tehát az összes madár annyi mint a fák száma szorozva az egy fán ülő madarak számával, ráadásul ez a szorzat 200 és 300 közé esik. Egy további nagyon lényeges információ, hogy a a szorzatból egyértelműen meghatározható a szorzat két tagja (vagy tényezője(?), már régen tanultam 🙂 ), ahonnan nekem rögtön a prímszámok jutottak eszembe.
Prímszám azonban csak akkor lenne jó, ha egy fa lenne, rajta az összes madárral vagy pont fordítva, minden fán csak egy madár ülne. Ezt azonban kizártuk. Ezek után a négyzetszámok ugrottak be, hiszon ők n*n alakúak, ha nem négyzetszám lenne a madarak száma akkor n*m-es felbontása lenne, ami nem jó hiszen n és m is lehet a fák száma (persze akkor a másik a madarak száma egy fán). Tehát mindenképpen négyzetszámnak kell lennie a megoldásnak, három megoldás maradt a 225, a 256 és a 289. De nem jó akármilyen négyzetszám, prímszám négyzetének kell lennie, mert ha nem az lenne akkor egynél többféle felbontása lenne, azaz nem csak n*n-es alakú, hanem m*k-s is, például a 16 nem csak 4*4, hanem 2*8 is lehet. Tehát
a három négyzetszám közül csak az jó aminek a négyzetgyöke prímszám, ez pedig csak a 289-re igaz.
Tehát 289 madár volt az erdőben, 17 fa volt és minden fán 17 madár.
11*23 ?
szerintem: a fák száma (F) szorozva a madarak számával (M) 200 és 300 közé kell, hogy essen.
Nyilván csak F*M alakú számok jöhetnek szóba.
De ha F nem egyenlő M-el, akkor akár fel is cserélhetőek, azaz például 67 fán ülhet 3-3 madár, és 3 fán is ülhet 67-67 madár.
azaz, F-nek és M-nek egyenlőnek kell lenniük egymással, ez pedig csakis a F=M=16 (256 madár) vagy F=M=17 (289 madár)lehet.
ha tehát 289 madár van, akkor 17 fa van. ha 256 madár, akkor 16 fa van.
A többi esetben nem tudni, hogyan oszlanak meg a madarak a fákon.
A prímszámok kiesnek, mert egynél több fa van, az ismert.
az előzőt kiegészíteném azzal, hogy a 16 hülyeség, mert páros, így másképp is ülhetnek a madarak.
csakis a 17 fa, rajtuk 17-17 madár a jó.
bocs
Ezt moderáljátok ki! Szerintem 0, mert a mezőn járkál.
Nekem így első blikkre a hány éves a kapitány klasszikus jutott eszembe…
Tehát van egy 200 és 300 közötti szám, és ez egy olyan szám, amelynek osztóit könnyen ki lehet számolni. Ergo: Ennek a számnak csak, mármint csak az a két osztója van, és ha csak két osztója van, akkor a keresett szám prímszám.
Kérdés lefordítva: Olyan 200 és 300 közötti számot keresünk, amely csak pontosan két szám szorzataként írható fel.
Így fordítva kell számolni, most elő kell venni a prímszámokat, és meg találni azt a két prímszámot melynek szorzata 200 és 300 közé esik.
És itt vagyok bajban mert, több ilyen számpáros is van…
11×23=253
13×19=247
13×17=221… és hirtelen csak ennyi, de van még sokkal több.
Szóval így este csak ennyire futotta! 🙂
A madarak száma kijön a fák száma (X) és 1 fán lévő madárszám (Y) szorzatából.
A 4. bekezdés alapján a sokféle megoldásból azt keressük, ahol a szorzatból a tagok egyértelműen meghatározhatóak.
Így a feladat átfogalmazható arra, hogy keressük azt a 200-300 közötti számot, ami egyféleképpen bontható fel két szám szorzatára.
Ez csak úgy lehet, hogy X és Y prím és azonos. Így egy szám jön szóba, a 17.
Ófákk, én ott buktam el, hogy a fák és a madarak számát csak különbözőnek vettem…