Amíg a többiek a vonatra várnak, Arszlán egy kis pihenőre kényszerült valami jelentéktelen kis kihágás miatt.
A csavaros eszű gazfickó persze a fogdában is talál alkalmat egy kis agytornára. Az ebédhez a vizet egy hengeres pohárban kapják, hasonlóban mint az alábbi képen. Persze nem üvegpoharat használnak, de ez most mellékes. Ahogy a képen is látszik, a foglár nagyjából félig tölti meg általában a poharat, hol egy kicsit többet önt bele, hol kevesebbet, a hangulatától függően.
Arszlán rájött, hogy egész pontosan meg tudja mondani épp jó kedve van-e a foglárnak vagy sem, azaz hogy a pohár pont félig van, több van benne, vagy éppen kevesebb. És mindezt minden segédeszköz nélkül! Vajon hogy csinálta?
Megoldás
Szajmong megoldásához nincs is mit hozzátenni, ezúttal övé az Gumi Fogaskerék díj.
Amint azt végülis EÖ segítségével beláttuk, van egy alternatív (bár eszközigényesebb) megoldás is, ahol nagy szerepet kap az a tény, hogy forgó folyadék felszíne forgásparaboloid, melynek térfogata épp fele az befoglaló hengernek. Lásd kommentek.
24 thoughts on “Egy fél pohár víz”
Comments are closed.
Erről a feladatról az Anima Sound System nagy sikerű Tekerd című száma jut rögtön eszembe…
@Szajmong: Nem vágom az asszociációt, fejtsd ki kérlek bővebben, érdekelne.
Bővebben körpályán mozgatnám a poharat (lötybölném), nem tudom jobban megfogalmazni.
Eközben nézném, hogy a kialakuló hengerből kivágott kúp forma leér-e a pohár fenekéig, vagy csonka kúp marad amikor a kúp talpa (a víz teteje) eléri a pohár peremét. Ha nem ér le, több mint fél pohárral kaptam, ha pont leér, az pont fél pohárnyi, ha csonka kúp marad (pohár alján száraz kör középen), akkor rossz kedve volt az őrnek.
Az előző nem jó, közben rájöttem, mert a tölcsér fala valószínűleg nem lineáris, hanem valami ívet ad. Ezzel szemben a jó megoldás ennél egyszerűbb, csak dönteni kell a poharat nem tekerni.
@Szajmong: Na ez már jobban hangzik 🙂
Ami azt illeti, ez is szép feladat: mondjuk, hogy megpörgetjük a poharat a szimmetriatengelye körül, mint egy centrifugát, és azt találjuk, hogy a “tölcsér” alja épp érinti a pohár fenekét, a teteje pedig még épp nem csordul ki a pohár szájánál. Ebben az esetben tudunk-e valamit mondani a pohárban lévő víz mennyiségéről? Több vagy kevesebb, mint a pohár fele? Esetleg meg tudnánk határozni pontosabban is?
Másik kérdés:
Az alábbiak közül melyiket látjuk az ábrán?
a) félig üres pohár
b) félig tele pohár
c) a szükségesnél kétszer nagyobb pohár
@rusty: d) a szükségeshez képest feleannyi víz 🙂
45 fokban megdönti, ha kifolyik jó napja volt a foglárnak.
kérdés honnan vesz 45 fokot.
@-Maya: mindent meg tudunk róla mondani, forgási paraboloid jól behatárolt paraméterekkel.
@EÖ: Hmmm. Ez a 45 fok ez nem lesz jó szerintem. Vegyük észre, hogy a pohár magasabb mint amilyen széles. Az a megoldás amit mi keresünk, bármilyen oldalaránnyal működik.
A forgó pohár esetében ha mindent tudunk, akkor mondjunk hát valamit. 😉 Ha lehet, szintén méretektől függetlenül.
@-Maya: igaz! bocs.
Ha tényleg paraboloid (ezt én nem tudom, de elhiszem EÖ-nek), akkor a pohár függőleges középsíkjában a víz területe (forgástestről lévén szó, az összehasonlításhoz elég ezt a síkot vizsgálni) 2/3*r^3 a parabola integráljából -r -től r -ig. Másrészt a pohár falmagassága: m=r^2 kell legyen a kicsordulási határ eléréséhez. A tele pohár vízhez tartozó terület: 2*r*m = 2*r*r^2 = 2*r^3, ami háromszorosa a parabola alatti területnek, tehát a keresett esetben pontosan 1/3 pohár vizünk van.
Az eredeti feladvány megoldása pedig, hogy addig döntjük a poharat, amíg a víz el nem éri a kicsordulási határt az egyik oldalon. Ekkor megvizsgáljuk az átellenes oldalon a víz helyzetét a pohár alján. Ha kilátszik az alapsík, akkor kevesebb, ha pont a határon van akkor fél pohár, ha nem látszik ki a pohár aljából semmi, akkor több mint fél pohár vizet kaptunk.
A fél pohár esetén ugyanis egy hengert egy olyan síkkal metszettük ketté, amelyik mind a tetején, mind az alján pont a széléig ér, így éppen feleztük a térfogatot.
Egy henger felét több féle képpen értelmezhetjük. Egyszer ugye vízszintesen, egyszer függölegesen és átlósan is.
Na mármost ha a hengerben pont a fél térfogatnyi víz van, akkor ha az átlót vízszintbe rakjuk, akkor a víz pont a szájának szélétől az aljának peremégig fog érni. Ha nem, akkor akkr azt jelenti hogy nem feleannyi víz van.
@Thresher: na ezt akartam én is leírni.
addig kell megbillentenia poharat amíg egy D kistengelyű,Gyök(D*D+h*h) nagytengelyű ellipszis nem lesz a vízfelület.
@Szajmong: ez a harmad dolog igaz két dimenzióban, de nem szükségképpen igaz három dimenzióban.*
amúgy a forgási paraboloid egyenlete, h=(1/2g)*r*r*omega*omega
* egyébként a másodfokú forgási parabolid (és ez pont az) alatti terület a befoglaló henger fele.
Elég nehézkes ide képleteket behegeszteni, úgyhogy Áramlástan jegyzetben megtalálható a szükséges háttér.
Tényleg a fele, ezt mi is benéztük tegnap…
Döbbenet. Nehezen esett le, de tényleg jó (véletlenül) az első megoldásom is.
Csak meg volt a “hoppá” itt is. 🙂
@Szajmong: igen, a paraboloid felület alatti térfogat (azaz a vízé) fele a pohár térfogatának.
más kérdés, hogy Arszlán mi a t.kömmel forgatja meg a vizet. 🙂
de a döntéses is jó megoldás.
szép feladat volt.
nekem is van kettő szép feladatom, hová küldhetem?
fogaskerek@csokavar.hu
@Szajmong: Nálam is “hoppá”. Ebbe bizony nem gondoltunk bele, én is a harmadára gondoltam.
Ez a levezetés persze csak akkor állja meg a helyét, ha pont a szimmetriatengelyében pörgetjük meg a poharat. Ahhoz most így hirtelen kevés vagyok fizikából, hogy végiggondoljam mi van a teáltalad eredetileg javasolt “lötybölés” esetén, vagyis amikor a forgatás tengelye nem esik egybe a szimmetriatengelyével a pohárnak. Vajon akkor is valamilyen paraboloid felületet kapunk? Ha igen, milyen paraméterekkel? Lehet-e ilyenkor is valamilyen hasonló invariáns dolgot mondani?
EÖ, tudsz segíteni? 🙂
hát csak beleugatás szintjén:
ha nem a szimmetriatengely mentén pörgetjük, akkor is paraboloid lesz, csak az edény fala bezavar és nem alakul ki szerintem
tehát matematikailag parabolid lesz, a forgástengely körül, akkor is ha nem esik az alapkör középpontjába
áramlástechnikailag meg egy káosz alakul ki, szerintem.
a lötybölést nem tudom matematikailag értelmezni 😀
kicsit pongyolán: mindig az erőtérre merőlegesen áll be a vízfelület, azaz egyenesvonalú gyorsuláskor ferde lesz, pörgetéskor pedig a már látott eset van.
az áramlástan csodálatos dolog amúgy.
csak a cserebogárral nem tud mit kezdeni. 😀
jobban belegondolva, szerintem bámilyen tengely körül forgatva és bármilyen edényben kialakul a paraboloid, csak nyilván az edény fala által (sík)metszve, ha sík a fala
@cooldavee:
Miért?
Tudjuk, hogy mennyi vízre van szükség?
Lehet, hogy épp a képen látható mennyiségre… 😛
Innen megközelítve inkább úgy fogalmaznék:
d) a lehetségeshez képest fele annyi víz
🙂