Lelkes olvasónknak, Szájmonnak köszönjük az alábbi feladatot.
Eszembe jutott egy régi feladat amire nekem van egy megoldásom (nem biztos, hogy a leghatékonyabb), és kíváncsi lennék, hogy mások milyen megoldásokat találnak. Sok-sok (-sok) éve egy akkor középiskolás barátom kapta a matektanárától, de a hivatalos megoldás sosem jutott el hozzám.
A feladat a következő:
Arszlánnak születésnapja van amire négy barátja is hivatalos, van szép torta is, éppen kocka alakú melynek a látható oldalait finom cukormáz borítja.
Arszlán az igazságosság híve, ezért úgy szeretné felvágni a tortát, hogy mindenkinek egyforma mennyiség jusson mind a torta belsejéből, mind a felszínét borító cukormázból. (A máz vastagságát nem kell most figyelembe venni.) Még egy kis gond van, ugyanis senki nem szeretne több darabot kapni, egybefüggő szeletekre vágynak.
Szájmon
Hogyan szeletelte fel végül csavaros eszű barátunk a tortát? Küldjetek minél többféle megoldást!
Megoldás
A legfrappánsabb megoldás csakazértse kommentjében található. Lőry bizonyítása teszi teljessé a képet, így a szokásos Gumi Fogaskerék díj megosztva jár nekik.
Nagyon izgalmas feladat volt, küldjetek még több ilyet!
18 thoughts on “Tortavágás”
Comments are closed.
Először az első vág egy szeletet. Utána a többiek sorban dönthetnek, hogy kérik-e a szeletet. Ha igen, akkor a vágó újra vág. Ha nem kéri senki, akkor a vágóé lesz és a kés a következőhöz kerül.
Ugye a torta alján nincs cukormáz? Ha így van, akkor Arszlán a felső lap mentén kivághat magának egy 3/5 egység magas, fejjel lefelé álló szabályos gúlát, a többiek pedig egyforma „félháztető” alakú, szintén egy-egy teljes lapnyi cukormázzal rendelkező szeleteket kaphatnak.
@Shadowrunner: bár ez valójában egy másik feladat, mit jelent, h ‘akkor újra vág’, mi lesz a szelettel?
Mi van ha elsőnek levágja a torta felét – a többiek nekiállnak veszekedni rajta?
Több pont jár az általánosításért?
És jobb volna egy homogén mázas kép – illetve az én megoldásomhoz egy a magasság függvényében leírható minőségű. 🙂
off. Volt vmi kezdetben a hintekről – nem lehetne vmi bbtageket kapni amiket aztán csak az olvas aki akar?
@csakazertse: akinek van szelete az már nem vág többet, meg nem is választhat.
Van egy sorrend az emberek között ami mentén nyilatkoznak, hogy kérik-e a szeletet.
Ha valaki túl nagyot vág, akkor arra le fog csapni más, így a maradékból neki már kevesebb juthat. Ha meg túl kicsit, akkor az fog neki jutni. Így optimális esetben mindenki igyekszik a lehető legpontosabban vágni.
@csakazertse:
közben rájöttem, h tényleg másik feladat, nem olvastam rendesen el a leírást 🙂
@Lőry:
Ha az alja is mázos, hasonló megoldást kapunk.
A ‘plusz 1’ oldalt is szét kell osztani.
Arszlán szelete két testre bontható (de persze kivágható egy darabban):
1. Egy téglalap megynek alapja a kocka alapja, magassága pedig a/20, ahol ‘a’ a kocka oldala.
2. A másik darab egy gúla, melynek alapja a kocka alapja, magassága pedig 9a/20.
A két szelet együtt a felszín és a térfogat 1/5-ét adja.
A maradék (csonka) részt Lőry (2009.11.26. 13:48:25) alapján osztjuk fel.
Én azt ismertem, amit Lőry nagyon pontosan megfogalmazott és leírt. Innentől csak arra lennék kiváncsi, hogy létezik-e más frappáns megoldás. (A feladatban le volt írva, hogy a látható oldalakat borítja cukormáz, így az alsó lap természetesen máz nélküli.)
megszámlálhatatlan 🙂 másik megoldás:
Válasszunk ki egy pontot a felülről nézett torta / négyzet kerületén
Első vágással a ponttól a négyzet középpontjáig vágunk be, függőleges síkkal.
A következő vágások is hasonlóak lesznek, épp csak az eredeti kerülettel vett metszéspontjuk változik – azonos mázú/térfogatú darabokhoz úgy juthatunk, ha a metszéspontok a kerületen egymástól azonos távolságra helyezkednek el – 5 darab esetén 4a/5 -nyire.
@Shadowrunner: Ezzel együtt elég érdekes feladat, akár már négy résztvevőre, ha feltesszük, h mindenki meg tudja mondani egy n/m arányban kettévágott torta esetén, h az n v m továbbosztozkodó közé szeretne -e kerülni , mármint van -e olyan megoldás, amivel mindenki legalább egy szerinte igazságos részt kap. Van vajon erre általános megoldás?
@Shadowrunner: Amit te mondasz, at egy másik feladvány elvileg, nevezetesen ogy tudja három tolvaj igazságosan elosztani a zsákmányt, de ide is jól illik a válasz.
csakazertse:
Őrület, pont erre gondoltam, mint frappáns megoldás. Köszi. És itt még kocka sem kell legyen a torta, bármilyen magasságnál működik.
@csakazertse: Ez zseniális, gratula! Most már csak egy frappáns bizonyítást kellene hozzá, hogy ez tényleg működik így általánosan.
@Szajmong: A képen a kockának csak három oldala látható. Ha a kép csak illusztráció, akkor pedig elképzelhető, hogy az igazi kockát üvegasztalra tették, és így az alsó lapja is látható.
@-Maya: Ha a kiválasztott vágások mellett még a középpontot a felülnézeti négyzet csúcsaival összekötő egyenesek mentén is vágunk, akkor tisztán háromszög-alapú hasábokat kapunk, amelyek térfogata (és cukormázas felszíne) a háromszögek középonttal átellenes oldalának hosszával egyenesen arányos. (Az oldal távolsága a középponttól (ez adja a háromszög magasságát) és a kocka magassága konstans.)
Az eredeti szeletek egy vagy két ilyen hasábból állnak, tehát a kiválasztott oldalhosszak arányában osztják fel a kocka térfogatát.
Príma megoldás, igyekszem majd a gyakorlatban is kipróbálni.
Én egy “alternatív” megoldásra gondoltam. Levágnám a torta tetejéről a cukormázat (tegyük fel, hogy épp le tudom vágni róla), a tortát felvágnám vízszintesen 5 egyenlő részre, utána a tetejét is 5 felé amiből mindenki kapna 1-et a saját szeletére.
Végülis a szeletek egy darabban lennének ha a cukormáz nem számít annyira, de ezen lehet vitatkozni. Viszont így tuti igazságos lenne és akárhány részre lehetne osztani.
@stremix:
Szerintem nem tudod levágni a tetejét, mert a máznak valószínűleg nincs vastagsága – a feladatban mármint
@csakazertse: Jaja, értem. Valahogy úgy gondoltam, hogy a cukormázból 5 darab van (vagyis 5 oldal mert az alján nincs) és ezekből jutna mindenkinek 1-1, a belsejét pedig szintén 5 felé kell vágni…
Amúgy ha számít a máz vastagsága, akkor szinte megoldhatalan a feladat, mert valahol be kéne vágni a torába, hogy lássuk, milyen vastag a máz. Szóval nem mondom, hogy én tudom jól, csak azt, hogy én így csinálnám igazságosan.
@stremix:
a vastagságot csak azért hoztam fel, mert ha volna, akkor az éleken nemigen lehetne a felszínnel operálni. Persze ha ezt az ‘élhatást’ elhanyagoljuk, akkor mindegy milyen vastag a krém, amíg az (eredeti)felületből mindenki ugyanannyit kap.