Mint az már az eddigiekből kiderülhetett, Arszlán és barátai nagyon kedvelik a matematikát. A logikai feladatok mellett egy másik különösen izgalmas terület számukra a fraktálok témaköre. Így kézenfekvő volt az ötlet, hogy az idei adventi kalendáriumot egy térbeli fraktál, a Menger szivacs alapján építsék meg. Persze nem a teljes fraktált, csak egy közelítését.
Épp kapóra jött, hogy egy korábbi “munkájuk” alkalmával jelentősebb mennyiségű névjegykártyához jutottak, mely eddig csak porosodott a raktár sarkában. Elhatározták, hogy ebből fogják megépíteni a kalendáriumot.
6 névjegykártyából ilyen kis kockákat könnyen lehet csinálni:
Nem túl szép, hogy a fülecskék kilógnak, így a látható oldalakra egy-egy további névjegykártyából takarást is tenni kell, így lesz szép és tartós a szerkezet. Ez egy kocka esetén – amely a Menger szivacs nulladfokú közelítésének tekinthető – tehát összesen 12 kártyát jelent. Magasabbrendű közelítéseknél persze átlagosan kevesebb kártya kell kockánként, hiszen két kocka kapcsolódó közös oldalára nem kell extra takarás (de a két kocka oldala igen, tehát egy közös oldal 2 kártyát jelent!)
Hogy emlékeztessen egy adventi koszorúra, kicsit változtattak az alap szivacs sémán: a felső lap négy sarkára így egy-egy eggyel kisebb rendű szivacs került. A képen egy elsőfokú közelítés látható.
Kérdések
1. Hány névjegykártya kell összesen a fenti elsőfokú adventi kockához?
2. Általában n-edfokúhoz?
3. Vajon a gyakorlatban hányadfokú közelítést tudnak megépíteni barátaink, ha a megfelelő mennyiségű névjegykártya beszerzése nem akadály?
4. Építsetek meg ti is egy minél magasabb fokú adventi kockát! Jó szórakozást hozzá, és képeket feltétlenül küldjetek! 🙂
Update
A könnyebb érthetőség kedvért íme egy negyedfokú adventi Menger-kocka, amit gyorsan összedobtunk a srácokkal itt az irodában*:
* Na jó, azért az durva lenne… igazából Structure Synth + Sunflow segítségével készült a kép.
11 thoughts on “Adventi kocka – kockáknak”
Comments are closed.
n-edfokú kocka esetén, m kisebb n-re, minden fedetlen fedlapra kerül 4 m-1-edfokú, vagy csak a legmagasabban elhelyezkedőkre? (miképp burjánzanak a gyertyák?)
@csakazertse: csak a legmagasabban elhelyezkedőkre.
/off
valahol ott a rabos-kapcsolós résznél tök elment a blog matematika szakos egyetemi végzettség felé (ami persze nem probléma, láthatóan jelentős, lelkes és érdeklődő közönség gyűlt ide, maximális reszpekt nekik).
Csak érdeklődnék: a jövőben lesznek további, az első posztokhoz hasonló agydolgoztató, érdekes feladványok a pórnép számára, vagy most már örökre beragadtunk ebbe a fraktálos, kilencismeretlenes egyenletes, elméleti matematikai síkba?
Ne értsétek félre, nincs vele gondom, csak akkor sajnos nem nekem való a blog, és tovább állok. Tényleg csak kérdem. Előre is köszi.
/on
A jelenlegi feladathalmaz nagyjából lefedi azt amit szeretnénk, a továbbiakban is ezekhez hasonló könnyebb-nehezebb feladatok lesznek.
Némi absztrakt gondolkozással, és gimis matek tudással a legtöbb feladat megoldható.
A “könnyű” taggel ellátott feladatokhoz csak ötlet kell, különösebb felkészültségre nincs szükség.
@terasz9: Ehhez a konkrét feladathoz pl. csak néhány (mennyi is? 🙂 ) névjegykártyára van szükség, meg minimális kézügyességre. A kockahajtogatás/építés tényleg nagyon szórakoztató tud lenni, érdemes kipróbálni (és nagyon addiktív – én szóltam).
AZ általános képlet kidolgozása persze feltételez némi matematikai alapismeretet, de középiskolai tudással ez is bőven megoldható szerintem. Kell hozzá egy kis térlátás mondjuk, az biztos.
@csakazertse: Feltettem egy képet a negyedfokúról. Remélem így már egyértelmű, hogy miről van szó.
“Építsetek meg ti is egy minél magasabb fokú adventi kockát!”
Megéptettem az elsőfokút, ami a nulladfokúnál magasabb, tehát ezt a részét megcsináltam! 🙂
ok, köszönöm a válaszokat.
nem tudtátok elvenni a kedvemet, maradok
🙂
de most már tényleg nem offolom szét a kommentfalat, elnézést. megyek kockát építeni.
@terasz9: Ez a beszéd! 🙂
A negyedik feladat megoldása: gergo.erdi.hu/blog/2009-12-01-adventi_menger-szivacs/
Értelemszerűen ehhez az első feladatot is meg kellett oldani, de azt nem lövöm le 🙂
2. csak összehasonlításul, ha más is csinálná, könnyen elszámolhattam
O(n) = n. fokúhoz kocka oldalán látszó (összerakásnál majd érintkező) névjegyek száma = 8^n
Nagyobb kocka összerakásához kell 20 kisebb kocka, ezeknek összesen 48 lapja érintkezik.
A 0-adfokú kockához 12 névjegy kell.
KN(n) = amennyi névjegy egy n-edfokú kockához kell = 20*KN(n-1) – 48*O(n-1) =
… = 8*20^n + 4*8^n
Az adventi verzióhoz kell még négy kiskocka, kockánként két új érintkező lap adódik.
AN(n) = ennyi névjegy kell az adventi verzióhoz = KN(n) + 4*(KN(n-1) – 2*O(n-1) =
… = 48/5 * 20^n + 5*8^n
4.
egy 0-adfokút összeraktam, de az adventi naptár már megvolt, és a fent kapott számok meg elborzasztottak. A névjegyek amúgyis a todo-listákhoz kellenek :-). Kicsit azért elgondolkodtam, h honnan lehetne szerezni költséghatékonyan végtelen számú összeragasztgatható kiskockát.