A következő feladatot gimnazista koromban hallottam.
Egy hajó kapitányának életkora K, legénységének létszáma L. Mindkettő pozitív egész. A kettő között az alábbi összefüggés áll fenn:
L(L–1) = K(L–2)+15
Hogy hívják a kapitányt?
Vonjunk ki 2-t az egyenlet mindkét oldalából, mégpediglen azért, mert a baloldalból is szeretnénk L-2-t kiemelni:
L*L – L – 2 = K(L-2) + 13
Ekkor
(L-2)(L+1) = K(L-2) + 13.
Rendezzük az ismeretleneket a baloldalra:
(L-2)(L+1) – K(L-2) = 13
Újabb kiemelés után:
(L-2)(L+1-K) = 13
Felhasználva, hogy K és L is egész számok a 13-at csak négyféleképpen lehet két szám szorzatára bontani:
| L-2 | L+1-K | L | K |
| 1 | 13 | 3 | -9 |
| -1 | -13 | 1 | 15 |
| 13 | 1 | 15 | 15 |
| -13 | -1 | -11 | -9 |
Mivel L és K is pozitív, csak az L=1, K=15 illetve L = 15, K=15 lehet megoldás.
A kapitány tehát mindenképpen 15 éves, a legénység pedig vagy 1 vagy 15 fős. Innen már csak egy kis kulturális háttérismeret kell ahhoz, hogy kiderüljön: a tizenöt éves kapitány minden bizonnyal a hasonló című Verne regényben szereplő Dick Sand lesz.
Elegáns?
Comments are closed.
Lehet-e a kapitány életkora tört szám, vagy mindenképpen pozitív egész?
Jogos a kérdés. Mindkettő pozitív egész.
Ez esetben valószínűleg jól okoskodtam.
legeza.oszk.hu/sendpage.php?rec=li2317
A linkből egyértelmű a megoldás, aki még gondolkozik, ne kattintson.
Aha 🙂
Ebből szokott kijönni valami olyan összefüggés, hogy a kapitány mindenképpen halott? Tehát a kapitány neve: hulla.
na jó, ez csak tipp, mindjárt nekiállok matekozni vele.
Végre egy feladat, ahol jól jön a Wolfram Alpha! A kapitány életkora három, a matrózok száma mínusz kilenc.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%28x–1%29+%3D+y%28x–2%29%2B15
Ez tetszik, wolframalpha már be is költözött a könyvjelzők közé.
Én excelben vettem fel az egész L (legénység) értékeket 0-tól 150 ig, a képletet K-ra (kapitány életkor) kifejezve, és ha már ez meg volt, ábrázoltattam is. Kicsit körülményesebb volt, és még hátra volt papíron igazolni, hogy a függvény minden L>2-re sz.m.n, és feltételezve, hogy a kapitány nem idősebb 150 évnél biztosan nem kaphatok más egész értéket, mint ami kijött.
Ha nincs Wolfram Alpha, és nem jövünk rá az elegáns megoldásra (amit majd Encsé prezentálni fog), akkor próbálkozhatunk azzal, hogy az egyenletet egyismeretlenes (L) másodfokú egyenletként fogjuk fel, és a megoldóképletet hívjuk segítségül. Ez azért jó, mert ehhez nem kell sokat gondolkodni. Viszont cserébe nem is olyan elegáns, mint az Encsé-féle megoldás. 🙂
Tehát a fenti egyenlet így írható fel:
L^2 -(K+1)L +2K-15 = 0
Ennek megoldása L-re:
L_1,2 = (K+1 ± sqrt(K^2-6K+61)) / 2
A diszkriminánst teljes négyzetté próbáljuk valamennyire alakítani, ez lesz belőle:
K^2 – 6K + 61 = (K-3)^2 + 52
A diszkriminánsnak négyzetszámnak kell lennie ahhoz, hogy L megoldása egész legyen. Mivel (K-3)^2 szintén négyzetszám, ezért olyan négyzetszám-párokat kell keresnünk, amelyeknek a különbsége 52.
Írjuk fel a diszkrimináns lehetséges értékeit. Ezek a négyzetszámok lesznek 64-től 729-ig (20 darab szám). 64-nél nem lehet kisebb, mert a legközelebbi négyzetszám a 49, amiből 52-t levonva már negatív számot kapunk. 729-nél sem lehet nagyobb, mert innentől felfelé a szomszédos négyzetszámok különbsége már nagyobb lesz, mint 52 (valójában már a 729 se jó).
Egyetlen négyzetszám van a listánkban, amiből 52-t levonva szintén négyzetszámot kapunk: 196-52=144.
Tehát:
(K-3)^2+52 = 196
Azaz:
K=15 (mivel K pozitív kell, hogy legyen)
Ebből egyébként az jön ki, hogy:
L_1 = 15
L_2 = 1
Bár ez senkit nem érdekel. 🙂 A lényeg, hogy a kapitány 15 éves, a neve pedig Dick Sand.
hu.wikipedia.org/wiki/A_tizen%C3%B6t_%C3%A9ves_kapit%C3%A1ny
@cooldavee:
“elegáns megoldásra (amit majd Encsé prezentálni fog)”
Kíváncsian várjuk. Legalábbis én igen.