A postafiókunk áttúrása után találtam a következő feladatot, melyet EÖ küldött. Köszönjük!
Van egy hengeres alakú üvegpohár (Beliánnak :D), a külsején, a palást tetszőleges A pontjában egy légy, észrevesz a pohár belső palástjának felületén a B pontban egy kis szörpmaradványt. Hogyan jut el a legrövidebb úton A pontból B pontba? Milyen alakú a megtett pálya, ha nem repül, hanem mászik?
Bónusz feladat: ugyanez pohár helyett Menger-szivaccsal 😀
(Bónusz 2: légy helyett Menger-szivaccsal…)
Comments are closed.
Szerintem ez a szokásos mandíneres billiárdgolyós feladat egy átfogalmazása.
Terítsük ki a hengerpalástot egy téglalappá, úgy, hogy az A pontra illeszkedő vezérszakasz adja két oldalát. Ekkor a B pontra illeszkedő vezérszakasz valamelyik széléhez közelebb van, mint a másikhoz (vagy épp a felénél), legyen az ezen az oldalon lévő képe A-nak A’.
Ezekután tükrözzük az eredeti pohár peremének megfelelő c téglalap-oldalra a B pontot, és legyen ez a pont B’.
Mármost az A’-B’ szakasz metssze c-t C-ben. Ezekután az A’-C-B törtvonal állításom szerint kiadja a legrövidebb, a peremet érintő utat.
@_Cactus_: Node ha a légynek a repülést is megengedjük, akkor ezzel levághatja a pohár görbületét. Ilyenkor célszerűbbnek látszik a külső felszínen megtett utat minimalizálni — tehát javasolhatjuk pl., hogy Leander a légy másszon felfelé a pohár pereméig, aztán egyenes vonalban repüljön a célig. (Egy pillanatra felejtsük el, hogy gravitációs térben Leander nemigen fog tudni egyenes vonalban repülni, hacsak nem lefelé kell mennie.)
Legyen a és b a kezdő és végpont távolsága a pohár peremétől, r a hengerpalást sugara, és legyen alpha az A és B pont vetületei közötti szög a felülnézeti kör középpontjából nézve. Ekkor (ha jól számolom) a mászó megoldás úthossza:
l1 = sqrt((a + b)^2 + (r * alpha)^2),
a felmászós majd repkedős megoldás úthossza pedig
l2 = a + sqrt((2r * sin(alpha / 2))^2 + b^2).
Nyilván l1 >= l2, ha a = b = 0. (alpha >= sin(alpha), ha alpha >= 0)
Sajnos azonban ha a > 0 akkor “túl kicsi” alpha vagy r esetén az egyenlőtlenség megfordulhat, tehát az optimális megoldás valahol a két véglet között van. Hol?
Ha Leander a peremtől befelé repül, és a 0 <= phi <= 1 szögszorzó adja meg azt a pontot, ahol Leander eléri a peremet, akkor a megtett út összesen:
l(a, b, r, alpha, phi) = sqrt(a^2 + (r*phi*alpha)^2) + sqrt(4 * r^2 * sin^2(phi/2 * alpha) + b^2).
Ennek már csak meg kell keresni a phi szerinti minimumpontjait, és készen is vagyunk. Sok sikert! 🙂
Szerintem itt nem egy, hanem két palástról beszélhetünk: Egy belső, meg egy külsőről. Na most ha ezeket szétterítjük, és a két palástot összeragasztjuk, úgy, hogy a pohár pereme lesz az illesztés, akkor kapunk egy téglalapot, melynek egy hoszabbik felező vonala lesz a pohát széle. Így a téglalap egyik oldalán (a peremtől, azaz a felezővonaltól jobbra/balra) lesz a B, a másikon meg az A pont, és nincs más hátra, mint az A-t a B-vel összekötni, és mivel 2 pont között mindig az egyenes a legrövidebb, eleve ez lesz a megoldás.
De nekem az gyanúsan egyszerű volt…
Fiam tizedikes. Még az előző félévben volt ez a házi feladat.
Beírjam a többi hasonlót is?
@Thresher: pedig kiváló meglátás.
@_John_Doe_: a “fiam tizedikes” sajnos nem jó megoldás.
🙂