“Nézd és mondd” sorozatok

Az előző posztban szereplő sorozat egy speciális esete az "nézd és mondd" (angolul "look and say") szabállyal képezhető sorozatoknak, melyekkel John Horton Conway zseniális brit matematikus sokat foglalkozott. Nem véletlenül ismerős Conway neve, hiszen – sok más izgalmas dolog mellett – az Életjáték felfedezője is ő.

Nézzünk egy példát, hogy is működik a dolog:

• induljunk ki a következő kezdeti értékből: 11
• 11 az "két egyes", tehát a következő elem 21,
• 21 az "egy kettes, egy egyes", azaz 1211
• 1211 pedig "egy egyes, egy kettes, két egyes", tehát 111221
• stb.

Conway tett néhány érdekes megállapítást az ilyen típusú sorozatokról:

• A számjegyek között az 1,2,3-on kívül más nem fordul elő, hacsak a kezdőértékben nem volt 3-nál hosszabb ugyanabból a számjegyből egymás mellett, vagy eleve magasabb számjegy.
• A sorozat tagjainak hossza (kivéve a 22, 22, 22,… degenerált esetet), a kezdőértéktől függetlenül határ nélkül növekszik.
• A szomszédos tagok hosszának aránya ekkor közelítőleg 1,30357…-hez tart, melyet Conway-féle konstansnak hívnak.

A Conway konstans egyébként meghatározható egy 71-ed fokú polinom egyetlen pozitív valós gyökeként. Lásd itt.

Az audioaktív bomlás csodálatos kémiája

Ez mind szép és jó, de Conway nem állt meg itt, hanem egész saját univerzumot kreált ezeknek a sorozatoknak. Észrevette ugyanis, hogy a sorozat tagjai előbb-utóbb szétbomlanak olyan – általa "eleminek" nevezett – részekre, melyek utána már nem lépnek egymással "kölcsönhatásba". Egészen pontosan 92 db ilyen "elem" létezik feltéve, hogy csak 1,2,3 számjegyek szerepelnek. Ezeket az elemeket a kémia elemek mintájára nevezte el hidrogéntől az uránig. Ha megengedünk 3-nál nagyobb számjegyeket is, akkor még néhány "transzurán" elemmel bővül a kínálat.

Minden fenti sorozatban a tagok egy idő után "elemi" részekből álló "vegyületekké" esnek szét. Ezen túlmenően, az elemek relatív gyakorisága fix, jól meghatározott számokhoz konvergál. Például minden tizenegyedik atom a leggyakoribb "elem", a hidrogén, ha kellően hosszú (többmillió atomból álló) tagokat nézünk.

További információ a Mathworldön.

Ja és ha valakinek meglenne az eredeti Conway cikk, vagy valamelyik reinkarnációja, hálás lennék, ha megosztaná velem 🙂 (lásd irodalomjegyzék az előző linken).